Какие метрические характеристики можно определить без дополнительных

Лекция 10

Теорема Монжа.

Если две поверхности второго порядка одновременно описаны вокруг третьей поверхности второго порядка, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка.

На Рис.51 приведен комплексный чертеж двух пересекающихся конических поверхностей вращения (DиF), которые одновременно касаются третьей поверхности вращения (сферы). Линией их пересечения будут две плоские кривые (два эллипса m и n).

При прямоугольном проецировании Г.О. общего положения изображаются на плоскостях проекций с искажением их метрических характеристик.

Задачи, связанные с определением на чертежах длин отрезков, углов между прямыми и т.д. называются метрическими задачами. Любая метрическая задача на К.Ч. может быть решена с помощью двух основных (элементарных) метрических задач. Такими задачами являются следующие:

Первая основная метрическая задача (1 ОМЗ) – определить натуральную величину отрезка;

Вторая основная метрическая задача (2 ОМЗ) – перпендикулярность прямой и плоскости.

Пример. Определить натуральную величину отрезка АВ, заданного на комплексном чертеже [Рис.53, в)] двумя своими проекциями [АВ (А1В1, А2В2)].

Для начала рассмотрим иллюстрацию решения данной задачи, приведенную на однокартинном чертеже [Рис.53, а)]. Отрезок АВ (его натуральная величина) является гипотенузой прямоугольного треугольника АВВ*. Один из катетов (АВ*) этого треугольника равен горизонтальной проекции 1В1) отрезка АВ. Второй катет (ВВ*) является приращением аппликаты (Dz)отрезка АВ при переходе от точки А к точке В. Величину этого приращения легко определить на фронтальной проекции 2В2)отрезка АВ.Одновременно с определением натуральной величины отрезка АВ определим натуральную величину угла наклона прямойАВк плоскости П1(угол a).

Натуральная величина отрезка АВ,заданного на комплексном чертеже [Рис.53, в)] двумя своими проекциями А1В1 и А2В2,равна гипотенузе А1В*прямоугольного треугольника А1В1В*,один катет которого 1В1)равен проекции отрезка АВ на плоскости П1, а второй катет равен приращению аппликаты (Dz) отрезка АВ (Dz = В2В*). Угол [Рис.53, в)] равен величине угла aнаклона прямой АВ к плоскости П1.

Определение натуральной величины отрезка АВ, заданного на комплексном чертеже [Рис.53, в)] двумя своими проекциями А1В1и А2В2, можно выполнить и на фронтальной плоскости проекций П2. При этом одновременно определим натуральную величину угла наклона прямой АВ к фронтальной плоскости проекций П2. Угол в треугольнике между проекцией отрезка на данную плоскость и его натуральной величиной и есть угол между отрезком и данной плоскостью. (также см. Лекция 1, метрические свойства).

Вторая основная метрическая задача (2 ОМЗ)

(перпендикулярность прямой и плоскости)

Решение основано на признаке перпендикулярности прямой и плоскости.

Прямая, перпендикулярна к плоскости, если она одновременно перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим этой плоскости.

Пример. На комплексном чертеже (Рис.54) двумя своими проекциями (А1В1С1 и А2В2С2) задана плоскость S (АВС).

Задача. Построить проекции прямой n перпендикулярной плоскости S в точке А.

Решение. Через горизонтальную проекцию А1точки А плоскости S проводим прямую n1 перпендикулярную горизонтальной проекции h1 горизонтали h плоскости S . Также через фронтальную проекцию А2 точки А плоскости S проводим прямую n2 перпендикулярную фронтальной проекции f2 фронталиfплоскости S .На основании теоремы о прооецировании прямого угла (см. Лекция 1) делаем вывод, что прямая n(n1, n2)одновременно перпендикулярна двум пересекающимся прямым (горизонталиhи фронтали f), принадлежащим плоскости S. Из этого вывода следует, что прямая n перпендикулярна плоскости S.

Лекция 11

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Контрольные вопросы для подготовки к экзамену

1. Как называются и обозначаются основные плоскости проекций?

2. Какой чертеж называется комплексным?

3. Что такое вертикальная линия связи? Горизонтальная линия связи?

4. Какие координаты точки можно определить по ее горизонтальной проекции? Профильной проекции?

5. Какое положение может занимать прямая относительно плоскостей проекций?

6. Какие линии уровня вы знаете? Как располагаются проекции прямых уровня?

7. Какие проецирующие прямые вы знаете?

8. Какие точки называются конкурирующими?

9. Способы задания плоскости.

10. Как относительно плоскостей проекций может быть расположена плоскость?

11. Взаимное положение прямой и плоскости.

12. Главные линии плоскости.

13. Когда точка и прямая принадлежат плоскости?

14. Перечислите способы задания кривой линии..

15. Приведите примеры плоских кривых.

16. Что положено в основу классификации кривых линий?

17. Какие бывают винтовые линии? Как они образуются? Где применяются?

18. Приведите примеры пространственных кривых линий

19. Как на комплексном чертеже изображаются поверхности?

20. Что называют очерком поверхности

21. Что такое каркас поверхности?

22. Какие поверхности называются линейчатыми?

23. Как образуются гранные поверхности?

24. Охарактеризуйте линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма и приведите примеры.

25. Опишите образование винтовой поверхности.

26. Что в себя включает определитель поверхности?

27. Как образуются поверхности вращения?

28. Какую линию называют параллелью поверхности вращения?

29. Какую линию называют меридианом поверхности вращения?

30. Какие задачи называются позиционными?

31. Как определяются проекции точек на поверхности вращения?

32. Вкаких случаях одна проекция сечения поверхности вращения плоскостью определяется без дополнительных построений?

33. Назовите конические сечения.

34. Алгоритм решения задачи на определение точки пересечения прямой с плоскостью общего положения.

35. Алгоритм решения задачи на определение точек пересечения прямой общего положения с поверхностью.

36. Алгоритм решения задачи на определение линии пересечения двух плоскостей общего положения.

37. Как определяется видимость прямой относительно плоскости и плоскостей между собой?

38. Алгоритм решения задачи на определение линии пересечения плоскости общего положения с поверхностью.

39. Какие точки линии пересечения относятся к характерным?

40. Алгоритм решения задачи метод секущих плоскостей.

41. Какие поверхности называются соосными?

42. В каком случае при решении задач применяется метод секущих концентрических сфер?

43. В каком случае при решении задач применяется метод секущих эксцентрических сфер?

44. Алгоритм решения задач методом концентрических сфер.

Метрическими называются задачи, решение которых связано с определением характеристик геометрических фигур, определяемых (измеряемых) линейными и угловыми величинами.

Решение многих пространственных задач на комплексном чертеже часто бывает слишком сложным из-за того, что заданные геометрические фигуры расположены произвольно относительно плоскостей проекций и, следовательно, проецируются на эти плоскости в искажённом виде.

В то же время задачи решаются значительно проще в случае частного положения геометрических фигур относительно плоскостей проекций. При этом наиболее выгодным частным положением проецируемой фигуры следует считать:

а) положение, перпендикулярное плоскости проекций;

б) положение, параллельное плоскости проекций.

Переход от общего положения геометрической фигуры к частному можно осуществить за счёт изменения взаимного положения проецируемой фигуры и плоскостей проекций.

Это достигается двумя путями:

во-первых, перемещением плоскостей проекций в новое положение, по отношению к которому проецируемая фигура, которая при этом не меняет своего положения в пространстве, окажется в частном положении;

во-вторых, перемещением в пространстве проецируемой фигуры так, чтобы она заняла частное положение относительно плоскостей проекций, которые при этом не меняют своего положения в пространстве.

Первый путь лежит в основе способа замены плоскостей проекций, второй — способа вращения вокруг проецирующих осей.

Существуют и другие способы преобразования.

Вообще, всякое построение на комплексном чертеже, отображающее определённые построения в пространстве, и приводящее к образованию новых полей проекций, называется преобразованием комплексного чертежа.

Дата добавления: 2014-11-25 ; Просмотров: 538 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

К позиционным задачам относятся задачи на определение общих элементов различные геометрических образов. Это задачи, где требуется установить взаимное положение и взаимную принадлежность рассматриваемых геометрических форм: найти точку на линии или плоскости (поверхности), найти точку пересечения прямой линии с плоскостью (поверхностью) или линию пересечения плоскостей (поверхностей) и т.д. Некоторые из этих задач рассматривались в предыдущих разделах. Среди различных позиционных задач можно выделить две основные задачи: пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения и пересечение плоскостей общего положения. При решении позиционных задач не рассматриваются метрические свойства элементов, т.е. те свойства, которые могут быть выявлены лишь в результате измерения. Параллельность геометрических образов является частным случаем их пересечения, т.к. параллельные прямые пересекаются в несобственной точке, а параллельные плоскости – по несобственной прямой.

Метрическими будем называть задачи, решение которых связано с определением, измерением линейных и угловых размеров геометрических образов.При ортогональном проецировании различные геометрические образы, произвольно расположенные в пространстве, проецируются на плоскости проекций с искажением, при этом искажаются их линейные и угловые характеристики. Определение неискаженных величин линейных и угловых характеристик геометрических образов, произвольно расположенных в пространстве, по их проекциям и есть решение ряда метрических задач.

Все метрические задачи можно разделить на три группы:

1. Определение расстояний между двумя точками, точкой и прямой, двум параллельным прямым, скрещивающимися прямыми, точкой и плоскостью, двумя параллельными плоскостями;

2. Определение углов между двумя прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями;

3. Определение величин плоских фигур, произвольно расположенных в пространстве.

Решение ряда метрических задач будет приведено во второй главе «Способы преобразования ортогонального чертежа».

Рассмотрим решение позиционных и метрических задач на примерах.

Позиционными называют задачи, где требуется установить взаимное положение и взаимную принадлежность рассматриваемых геометрических образов.

Метрическими называют задачи на определение длины линий, расстояний, размеров, углов, площадей и др.

Для решения метрических задач необходимо:

1) все задачи по определению расстояний привести к измерению расстояния между точками или к определению величины перпендикуляра, характеризующей искомое расстояние;

2) все задачи по определению углов привести к измерению угла между двумя пересекающимися линиями;

3) преобразовать заданные геометрические фигуры общего положения в такое положение, при котором искомые расстояния, углы и площади могут быть измерены непосредственно по чертежу.

Пример 1. Через прямую MN провести плоскость, перпендикулярную заданной плоскости АВС.

Определить угол наклона построенной плоскости к плоскости проекций П1 (рис. 76).

План решения:

1. Через точку М проводим прямую l, перпендикулярную плоскости АВС. В треугольнике АВС АС является горизонталью, а АВ – фронталью плоскости. Поэтому проводим l1 ^ A1C1; l2 ^A2 B2.

2. Две пересекающиеся прямые MN и l задают плоскость, перпендикулярную заданной АВС. Перезададим построенную плоскость треугольником MNK.

3. Для определения угла наклона плоскости MNK к П1 построим линию ската 12, которая перпендикуляр на горизонтали MN этой плоскости.

Рис.76 4. Определяем методом прямоугольного треуголь-

ника натуральную величину линии ската. Угол между натуральной величиной и ее горизонтальной проекцией будет искомым углом a.

Пример 2. Построить проекции высоты треугольника АВС, опущенной из вершины А на сторону ВС (рис. 77).

План решения.

2. Определяем точку пересечения прямой ВС с построенной плоскостью (т.О). Для этого через ВС проводим дополнительную проецирующую плоскость Q. Q ^ П2. Строим линию пересечения построенной плоскости с заданной 12 = Q ìü АВС.

3. Отмечаем точку пересечения построенной линии с ВС. О = 12 ìü ВС.

4. Соединяем точки А и О, которые определяют высоту треугольника АВС.

Пример 3. Через точку А провести прямую, пересекающую заданные прямые CD и EF

B2

План решения :

1. Через точку А и прямую EF проводим плоскость P (AF ìü EF).

2. Определяем точку пересечения прямой CD с плоскостью Р (т.О) (см. предыдущий пример 2).

3. Через точку А и полученную точку О проводим прямую АО. Она пересекает CD в точке О и пересекает EF, т.к. лежит с ней в одной плоскости, что и требовалось по условию задачи.

Пример 4. В плоскости Р провести прямую, перпендикулярную к прямой АВ и пересекающуюся с ней (рис. 79).

План решения:

1. Определяем точку О пересечения прямой АВ с плоскостью Р. Для этого через прямую АВ проводим горизонтально — проецирующую плоскость Q. Строим линию пересечения 12 плоскости P и Q. Отмечаем точку О пересечения линии 12 и АВ.

2. Через точку О проводим плоскость, перпендикулярную прямой АВ. Задаем ее горизонталью h и фронталью f, при этом h1 ^ A1B1, f2 ^ A2B2.

3. Перезадаем построенную плоскость h ìü f следами S1, S2, для этого определяем фронтальный след N горизонтали h и через него проводим S2 || f2, а через точку схода следов проводим S1 || h1.

ис. 53

4. Строим линию пересечения 34 плоскостей Р и S. Она будет искомой.

Оцените статью
Добавить комментарий